解的结构与基础解系

解的结构与基础解系 解的结构齐次线性方程组的解结构定理：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0的解空间是向量空间。

证明：

零解 0⃗\vec{0}0是解如果 x⃗1,x⃗2\vec{x}_1, \vec{x}_2x1​,x2​ 是解，则 x⃗1+x⃗2\vec{x}_1 + \vec{x}_2x1​+x2​ 也是解如果 x⃗\vec{x}x是解，kkk 是常数，则 kx⃗k\vec{x}kx也是解非齐次线性方程组的解结构定理：设 x⃗0\vec{x}_0x0​ 是非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b的一个特解，x⃗h\vec{x}_hxh​ 是对应齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0的任意解，则 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_hx0​+xh​ 是非齐次方程组的解。

证明： A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}A(x0​+xh​)=Ax0​+Axh​=b+0=b

解的结构定理定理：非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b}Ax=b的通解为： x⃗=x⃗0+x⃗h\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_hx=x0​+xh​

其中：

x⃗0\vec{x}_0x0​ 是非齐次方程组的一个特解x⃗h\vec{x}_hxh​ 是对应齐次方程组的通解 基础解系基础解系的定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

基础解系定义：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0的所有解的集合称为基础解系。

性质：

基础解系中的任意解都可以表示为该解系中向量的线性组合基础解系不唯一，但任意两个基础解系等价基础解系的性质性质：

基础解系中的向量线性无关齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合基础解系中向量的个数等于自由变量的个数基础解系的求法步骤：

用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形确定主元和自由变量对每个自由变量，令其等于 1，其他自由变量等于 0，求解得到基础解系例子例 1：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0​ 的基础解系。

解：

增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}(12​12​12​∣∣​00​)化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(10​10​10​∣∣​00​)主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z令 y=1,z=0y = 1, z = 0y=1,z=0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)v1​=(−1,1,0)令 y=0,z=1y = 0, z = 1y=0,z=1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)v2​=(−1,0,1)基础解系：{(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}{(−1,1,0),(−1,0,1)} 通解通解的定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

通解定义：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0的所有解的集合称为通解。

性质：

通解是向量空间如果 x⃗1,x⃗2\vec{x}_1, \vec{x}_2x1​,x2​ 是两个不同的解，则 k1x⃗1+k2x⃗2k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2k1​x1​+k2​x2​ 也是解通解可以表示为基础解系的线性组合齐次方程组的通解形式：x⃗=k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_rx=k1​v1​+k2​v2​+⋯+kr​vr​

其中：

{v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}{v1​,v2​,…,vr​} 是基础解系k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_rk1​,k2​,…,kr​ 是任意常数非齐次方程组的通解形式：x⃗=x⃗0+k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = \vec{x}_0 + k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_rx=x0​+k1​v1​+k2​v2​+⋯+kr​vr​

其中：

x⃗0\vec{x}_0x0​ 是特解{v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\}{v1​,v2​,…,vr​} 是对应齐次方程组的基础解系k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_rk1​,k2​,…,kr​ 是任意常数 解的结构分析唯一解条件：当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解。

特点：

齐次方程组只有零解非齐次方程组有唯一解无穷多解条件：当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。

特点：

齐次方程组有无穷多解非齐次方程组有无穷多解自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩无解条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

解空间的维数解空间维数的计算定理：齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0}Ax=0的解空间的维数等于 n−r(A)n - r(A)n−r(A)，其中 nnn 是未知数的个数，r(A)r(A)r(A) 是系数矩阵的秩。

例子例 2：分析方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0​ 的解空间维数。

解：

系数矩阵：A=(111222)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}A=(12​12​12​)r(A)=1r(A) = 1r(A)=1，n=3n = 3n=3解空间维数：3−1=23 - 1 = 23−1=2 参数解参数解的定义定义：用参数表示的解称为参数解。

参数解的求法步骤：

用高斯消元法化为行阶梯形确定主元和自由变量用自由变量作为参数表示其他变量例子例 3：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0​ 的参数解。

解：

化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(10​10​10​∣∣​00​)主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z设 y=ty = ty=t，z=sz = sz=s，则 x=−t−sx = -t - sx=−t−s参数解：x=−t−sx = -t - sx=−t−s，y=ty = ty=t，z=sz = sz=s（t,st, st,s 为任意常数） 练习题练习 1写出 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases}{x+y+z=02x+2y+2z=0​ 的基础解系。

参考答案解题思路： 按照基础解系的求法步骤。

详细步骤：

增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}(12​12​12​∣∣​00​)化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(10​10​10​∣∣​00​)主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z令 y=1,z=0y = 1, z = 0y=1,z=0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)v1​=(−1,1,0)令 y=0,z=1y = 0, z = 1y=0,z=1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)v2​=(−1,0,1)答案：基础解系为 {(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}{(−1,1,0),(−1,0,1)}

练习 2求方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases}⎩⎨⎧​x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4​ 的通解。

参考答案解题思路： 先求特解，再求对应齐次方程组的基础解系。

详细步骤：

用高斯消元法求得特解：x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0对应齐次方程组：{x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases}⎩⎨⎧​x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0​用高斯消元法求得基础解系：空集（只有零解）通解：x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0答案：唯一解 x=5x = 5x=5，y=1y = 1y=1，z=0z = 0z=0

练习 3求方程组 {x+y+z=12x+2y+2z=2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \end{cases}{x+y+z=12x+2y+2z=2​ 的参数解。

参考答案解题思路： 用高斯消元法化为行阶梯形，然后用参数表示。

详细步骤：

增广矩阵：(111∣1222∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}(12​12​12​∣∣​12​)化为行阶梯形：(111∣1000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}(10​10​10​∣∣​10​)主元：xxx，自由变量：y,zy, zy,z设 y=ty = ty=t，z=sz = sz=s，则 x=1−t−sx = 1 - t - sx=1−t−s答案：x=1−t−sx = 1 - t - sx=1−t−s，y=ty = ty=t，z=sz = sz=s（t,st, st,s 为任意常数）

练习 4分析方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases}{x+y=1x+y=2​ 的解结构。

参考答案解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

增广矩阵：(11∣111∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}(11​11​∣∣​12​)化为行阶梯形：(11∣100∣1)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}(10​10​∣∣​11​)系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩答案：无解

练习 5证明：非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。

参考答案解题思路： 利用线性性质证明。

详细步骤：

设 x⃗0\vec{x}_0x0​ 是非齐次方程组的特解设 x⃗h\vec{x}_hxh​ 是对应齐次方程组的任意解验证 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_hx0​+xh​ 是非齐次方程组的解： A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}A(x0​+xh​)=Ax0​+Axh​=b+0=b验证任意解都可以表示为这种形式答案：证明完成

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